Energiegleichung aufstellen mit nicht konstanten Stoffwerten

Hallo,

im Rahmen meiner Abschlussarbeit muss ich mithilfe von numerischen Hilfsmitteln einen Temperaturverlauf in einem Medium berechnen.
Soweit so gut. Nachdem ich quasi durch bin und ich mein Modell mit temperaturabhängigen Stoffwerten ergänzen will kam ich auf ein Problem.

Wir betrachten die Ableitung nach der Zeit der inneren Energie.
Da ich grad nicht auf den Formeleditor zugreifen kann versuche ich es mal so.

Innere Energie ist ja definiert als $u = c(T) * (T - T_{bez})$

Da $T$ im instationären Fall von der Zeit $t$ abhängt ist $c = c( T(t) )$

Also $u = c( T (t) ) * ( T - T_{bez} )$

Leite ich die innere Energie nach der Zeit ab muss ich das ganze ja rein mathematisch mit der Produktregel lösen.

Also: $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial c}{\partial T} * \frac{\partial T}{\partial t} * (T - T_{bez}) + c(T(t)) * \frac{\partial T}{\partial t} $

Ein anderer Ansatz ist das man erst die Änderung der inneren Energie definiert: $du = c(T) * dT$

Dann ist nämlich $du/dt = c(T) * dT/dt$ (so steht es auch überall in der Literatur)

Meine Frage was wird beim ersten Ansatz falsch gemacht ?

Vielen Dank schonmal

Sobald ich zuhause bin ändere ich das ganze mit dem Formeleditor.

Ich weiß nicht genau wie du das meinst.
Auch wenn ich das so mache und ich u nach t ableite muss da ne produktregel hin.
Da dT ja auch von der Zeit abhängig ist.

Zitat

Ich denke das Problem ist, dass die erste Definition eben nur bei konstanter Temperatur gilt.
Die Definition der inneren Energie kommt doch aus dem ersten Hauptsatz und steckt da als "du" drin.
Deine Definition bekommt man durch integrieren bei konstanter Temperatur T. In der Ableitung fällt der erste Term dann natürlich weg.

Da hast du wohl recht, dass die erste Definition nur bei $T = konst$ gilt, hab ich so noch nicht bedacht.

Nichtsdestodtrotz muss man, wenn man veruscht eine Energiegleichung aufzustellen die innere Energie oder eben die Enthalpie partiell nach Zeit oder Ort ableiten.
Wenn ich wie in WSÜ eine Energiebillanz bilde:

$\dot Q_{\lambda,x}- \dot Q_{\lambda,x+dx} + \dot H_{x} - \dot H_{,x+dx} =\frac{dU}{dt}$

$\rho c\frac{dT}{dt}=\frac{\partial}{\partial x} \left(\lambda \frac{\partial T}{\partial x}\right) + v \frac{\partial}{\partial x} \left(\rho h \right) $

Rein mathematisch müsste ich doch die Dichte und die Wärmekapazität auch nach x ableiten müssen. Da $c(T(x)) \, \, und \, \, \rho(T(x))$.
Beim Wärmeleitungsterm wirds nämlich genau so gemacht (Wärmeübertragung Baehr). Da wird $ \lambda$ nochmal partiell abgeleitet.
Der Konvektionsterm wird jedoch in der Literatur immer mit:

$ v * \rho(T) * c(T) * \frac{\partial T}{\partial x}$ angegeben, das heisst dass man Dichte und Wärmekapazität immer vor die partielle Ableitung stellt, was mir - wie gesagt - rein mathematisch nicht plausibel ist.